Eliminationsverfahren zur Lsung linearer Gleichungssysteme

Die Lsung linearer Gleichungssysteme gehrt zu den Grundaufgaben der praktischen Mathematik. Eine der wichtigsten Lsungsmethoden ist das GauGausssche Eliminationsverfahren, ein sogenanntes direktes Verfahren, das nach endlich vielen arithmetischen Operationen die numerische Lsung der Aufgabe liefert. Die aus der linearen Algebra bekannte Cramersche RegelCramersche Regel eignet sich im allgemeinen nicht zur numerischen Lsung linearer Gleichungssysteme, da sie fr die Berechnung der n Unbekannten die Berechnung von n + 1 DeterminantenDeterminante und damit einen zu groen Rechenaufwand erfordert.

Im Abschnitt n wird das Eliminationsverfahren auf spezielle Klassen linearer Gleichungssysteme angewandt, deren Koeffizientenmatrizen positiv definitpositiv definit, diagonaldominantdiagonaldominant oder M-MatrizenM-Matrizen sind.

GauGauss, Carl Friedrich. * Braunschweig 30. April 1777, $\dag $ Gttingen 23. Februar 1855, dt. Mathematiker, Astronom und Physiker. — Der seit 1807 als Prof. fr Astronomie und Direktor der Sternwarte in Gttingen wirkende G., bereits zu Lebzeiten als Princeps mathematicorum bezeichnet, gehrt zu den bedeutendsten Mathematikern. 1801 verffentlichte er seine Disquisitiones arithmeticae, das grundlegende Werk der modernen Zahlentheorie. Im gleichen Jahr erzielte G. einen besonderen wissenschaftlichen Erfolg, als W. Olbers die Wiederauffindung des Planetoiden CeresCeres an einer von ihm vorausberechneten Stelle gelang. G. verffentlichte seine hierzu entwickelten Methoden der Bahnbestimmung 1809 in seinem Hauptwerk Theoria motus corporum coelestium, in dem er der theoretischen Astronomie eine neue Grundlage gab. 1827 verffentlichte er sein grundlegendes differentialgeometrisches Werk Disquisitiones circa superficies curvas. Zusammen mit dem Physiker Wilhelm Weber widmete er sich der Erforschung des Erdmagnetismus, wobei er das nach ihm benannte absolute physikalische Masystem aufstellte. Der von beiden 1833 konstruierte elektromagnetische Telegraph wurde damals technisch nicht weiterentwickelt. In diese Zeit fallen auch seine grundlegenden Arbeiten zur Physik, insbesondere zur Mechanik, zur Potentialtheorie sowie zur geometrischen Optik. Auf dem Gebiet der Mathematik sind vor allem noch seine Arbeiten zur Theorie der unendlichen Reihen, seine Methoden der numerischen Mathematik sowie seine Beweise des Fundamentalsatzes der Algebra zu nennen. (Meyers Taschenlexikon.)

DeterminanteDeterminante. Es gibt genau eine Abbildung det : M(n×n, K)→K mit den folgenden Eigenschaften:

  1. det ist linear in jeder Zeile
  2. Ist rg $\nolimits$A < n, so ist det A = 0
  3. det E = 1.
det heit „die Determinante``, det A „die Determinante von A``. (Jnich, Lineare Algebra.)

Cramersche RegelCramersche Regel. Ist det A≠ 0 und Ax = b, so gilt

xi = $\displaystyle {\frac{{\det\left(% \begin{array}{ccccc} a_{11}&\cdots&b_1&\c... ...a_{1n}\\ \vdots& &\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn} \end{array}\right)}}}$, i = 1,…, n.

(Die b im Zhler stehen dabei in der i-ten Spalte.)

positiv definitpositiv definit (Diese Definition gebe ich hier nicht, weil allmhlich genug Material zum Testen in dieser Datei steht.)

diagonaldominantdiagonaldominant (Diese Definition gebe ich hier nicht, weil allmhlich genug Material zum Testen in dieser Datei steht.)

M-MatrixM-Matrix (Diese Definition gebe ich hier nicht, weil allmhlich genug Material zum Testen in dieser Datei steht.)

CeresCeres. Ein Kleinplanet, der von Olbers nach Berechnungen von GauGauss wiederentdeckt wurde. (Diese etwas dmmliche Erluterung dient dazu, einen neuen Verweis auf GauGauss unterzubringen.)